Soluzione non relativistica

Le variabili utilizzate saranno

• $ x $ per la distanza percorsa
• $ v $ per la velocità
• $ a $ per l'accelerazione ( $ 1 ~ \ mathrm {g} $ )
• $ t $ per tempo
• $ c $ per la velocità della luce.

Senza frenatura

Supponendo che la velocità a cui si arriva non sia importante, prendiamo l'equazione

$$ x = \ frac12 at ^ 2 \. $$

Risolvi per $ t $ :

$$ t = \ sqrt {\ frac {2x} {a}} \. $$

(Scartiamo qui la soluzione negativa)

Collegalo a Wolfram Alpha ci dà

$$ 1.389 \ times 10 ^ {10} ~ \ mathrm {s} \, $$ o poco più di 440 anni.

La velocità che l'oggetto avrebbe b L'arrivo a viene calcolato da

$$ v = a \ cdot t \ approx 1.362 \ times 10 ^ {11} ~ \ frac {\ mathrm {m }} {\ mathrm {s}} \. $$

Circa 454,4 volte la velocità della luce.

Quindi no, non possiamo trascurare gli effetti relativistici.

Frenata

Se vuoi arrivare in quel punto con velocità ragionevoli, devi accelerare a metà e frenare nell'altra metà. calcoliamo $ t $ nello stesso modo in cui abbiamo fatto sopra e otteniamo

$$ 9.822 \ times 10 ^ 9 ~ \ mathrm {s} \, $$

o poco più di 311 anni. Dopo quel tempo saresti andato solo a metà strada e avresti bisogno di girare la tua astronave e decelerare, il che richiede di nuovo lo stesso tempo, per un totale di 622 anni e mezzo. Ma ti fermeresti vicino al tuo bersaglio e non spareresti oltre a velocità estreme. La tua velocità massima (al punto di svolta) ora sarebbe

$$ 9.632 \ times 10 ^ {10} ~ \ mathrm {s} \, $$

poco più di 321 volte la velocità di luce.

Effetti relativistici

Andare ovunque vicino alla velocità della luce (o vicino a una grande fonte di gravità come un buco nero per quella materia) produrrà un'enorme varietà di effetti relativistici , facendo in modo che tempo e spazio non siano gli stessi per ogni persona.

Il calcolo che include gli effetti relativistici è piuttosto complicato.

La cosa importante da notare qui è che l'oggetto in viaggio e un osservatore esterno misureranno il tempo in modo diverso.

Osservatore esterno

Dal punto di vista di un osservatore esterno (quindi visto dalla terra, dal bersaglio o da qualsiasi altro punto relativamente statico dell'universo) ci vorrebbero 100000 anni per viaggiare 100000ly alla velocità della luce (questa è una specie di definizione), ma l'oggetto non viaggerà più velocemente della velocità della luce:

Collegando l'equazione dalla risposta collegata:

$$ t = \ sqrt {\ frac {x} {1 ~ \ mathrm {ly}} ^ 2 + 2 \ frac {x / 1 ~ \ mathrm {ly}} {a / \ frac {\ mathrm {ly}} {\ mathrm {y} ^ 2}}} \ cdot 1 ~ \ mathrm {y} \. $$

Ti ho detto che sarebbe stato complicato. Collegandolo otteniamo 100001 anni. Non sorprende: come discusso sopra: viaggiare alla velocità della luce per circa 100000 anni più un po 'per accelerare a quella velocità.

Questa è la variante senza frenatura. La frenata, tuttavia, non richiederebbe molto più tempo. Circa 100002 anni in totale. Quindi un anno di accelerazione alla velocità della luce e un anno di frenata - detto semplicemente.

Prospettiva dell'oggetto in viaggio

Dalla prospettiva dell'oggetto l'effetto primario da considerare qui sarebbe contrazione della lunghezza. Rende la distanza dal bersaglio sempre più piccola man mano che vai veloce. Dal punto di vista di quell'oggetto ci vorrebbe quindi meno della durata calcolata nella soluzione non relativistica di cui sopra:

Usando di nuovo l'altra risposta come riferimento:

$$ t = \ frac {c} {a} \ mathrm {acosh} \ left (\ frac {x \ cdot a} {c ^ 2} + 1 \ right ) $$

Otteniamo un risultato di

$$ 3.741 \ times10 ^ 8 ~ \ mathrm {s} \, $$

circa 12 anni.

Prendendo nuovamente in considerazione la frenata otteniamo 11,18 anni per ogni metà , quindi circa 22,4 anni in totale.

Conclusione

Gli effetti relativistici sono importanti qui. Mentre sarebbe totalmente fattibile per un astronauta completare quella missione nella sua vita prima che arrivasse lì, tutti sanno saranno morti 100000 anni fa. Avrebbero ricevuto queste informazioni durante il volo. Qualsiasi comunicazione inviata dopo l'arrivo avrebbe un tempo di andata e ritorno di 200000 anni.

Visualizzazione

L ' altra risposta dell'utente Punintended link uno strumento meraviglioso che puoi provare per visualizzare questi effetti. Non preoccuparti per le parti del carburante. Puoi vedere il razzo diventare molto corto (contrazione della lunghezza relativistica) e il tempo che procede a velocità diverse per il viaggiatore e l'osservatore. Quando scegli un esempio meno estremo (come $ 100 ~ \ mathrm {m} $ ) puoi vedere il viaggiatore accelerare e decelerare.

Benvenuto nel sito!

Utilizzando questo strumento:

• Tempo dell'osservatore: 100001 anni

• Tempo di viaggio: 22,4 anni

Modifica: il tempo è fisso, do la colpa al calcolatore di Google

Cominciamo supponendo che non deceleri a metà. Lavora in unità con $ c = 1 $ . Con un'accelerazione costante di $ a $ , la rapidità $ \ phi = a \ tau $ a una corretta tempo $ \ tau $ dopo che inizi da fermo, quindi $$ \ beta = \ tanh a \ tau, \, \ gamma = \ cosh a \ tau, \, dx = \ beta dt = \ beta \ gamma d \ tau = \ sinh a \ tau d \ tau, $$ dove $ x $ è la distanza percorsa e $ dt = \ gamma d \ tau $ è il tempo infinitesimale in cui il tempo si dilata $ d \ tau $ . Dopo un tempo adeguato $ \ tau $ abbiamo $$ t = \ int_0 ^ \ tau \ gamma (\ tau ^ \ prime) d \ tau ^ \ prime = \ frac {1} {a} \ sinh a \ tau, \, x = \ frac {1} {a} \ left (\ cosh a \ tau-1 \ right) = \ sqrt {t ^ 2 + \ frac {1} {a ^ 2}} - \ frac {1} {a}. $$ Oppure, se vogliamo ottenere $ t $ o $ \ tau $ da $ x $ , $$ t = \ sqrt {\ left (x + \ frac {1} {a} \ right) ^ 2- \ frac {1} {a ^ 2}}, \, \ tau = \ frac { 1} {a} \ text {arcosh} (1 + ax). $$ Puoi facilmente reinserire i poteri di $ c $ , di corso. Ad esempio, il tempo trascorso sulla nave dopo 100 kLy è $$ \ frac {c} {g} \ text {arcosh} \ left (1+ \ frac {gx} {c ^ 2} \ right), $$ che ti lascio calcolare. Ovviamente, se deceleri a metà, devi raddoppiare il tempo di 50 kLy, dando $ \ frac {2c} {g} \ text {arcosh} \ sinistra (1+ \ frac {gx} {2c ^ 2} \ right) $ .

Quando $ gx \ gg 2c ^ 2 $ , la seconda formula si avvicina a $ \ frac {2c} {g} \ ln \ frac {gx} {c ^ 2} $ . Ma $ c / g $ si avvicina a $ 0,969 $ anni, mentre per $ x $ uguale a un anno luce $ gx / c ^ 2 $ approssima $ 1,03 $ span >. In altre parole, il tempo impiegato in anni, se si decelera a metà, è circa il doppio del logaritmo naturale del numero di anni luce. Questa è una comoda regola pratica a causa del confronto tra la durata dell'anno terrestre e la gravità della superficie terrestre.